Curiosidades matemáticas: 142.857

Entre los números que presentan curiosidades matemáticas destaca el 142.857 (ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete). Este número tiene la particularidad que al ser multiplicado por la secuencia de 2 a 6, el producto resultante corresponde exactamente a las mismas cifras del número original pero en otro orden. Por esta razón, este tipo de números se denominan cíclicos. 
Secuencia inicial.Véase la secuencia:
- 142857 × 2 = 285714
- 142857 × 3 = 428571
- 142857 × 4 = 571428
- 142857 × 5 = 714285
- 142857 × 6 = 857142 



Otras curiosidades:

- Al multiplicarlo por 7, la particularidad anterior no se cumple, pero también el resultado es curioso: 142857 × 7 = 999999

- Al continuar multiplicando, la particularidad antes descrita permanece, pero un poco menos evidente: 142857 × 8 = 1142856

Obsérvese que la cifra 7 ha desaparecido, pero ha sido reemplazada por 1 y 6: 1+6=7

- 142857 × 9 = 1285713 (Ahora falta el 4, pero queda 1 y 3) 

- 142857 × 10 = 1428570 

- 142857 × 11 = 1571427 (Falta un 8, pero tenemos un 1 y 7 adicionales)

Si se sigue con la secuencia de multiplicaciones será posible encontrar aún otras permutaciones y combinaciones de cifras que volverán a componer el número original: 142857.

Por ejemplo:

142857 × 429 = 61285653 vemos que en la parte central está el 285 de nuestro número mágico y nos falta por tanto el 714 (por orden cíclico), pero en el resultado 61285653 vemos que la suma de los extremos sobrantes 61+653 nos da precisamente el 714 que nos faltaba.

Otro ejemplo: 142857 * 26599 = 3799853343 vemos que en la parte central esta el 85 de nuestro número y falta por tanto el 7142, según el orden cíclico, y vemos que nuevamente es la suma de los extremos sobrantes 3799+3343 = 7142.

Este número es la parte periódica de un número que es dividido entre 7 (y no da exacto)

1/7 = 0'142857, 2/7 = 0'285714, 3/7 = 0'428571, 4/7 = 0'571428, 5/7 = 0'714285, 6/7 = 0'857142

Sea cual sea el número, estos seis números se repetirán siempre en el mismo orden, pero empezando desde uno u otro. Ejemplo 1307/7 = 186,71428571428... 

Si lo elevamos al cuadrado, lo partimos en dos y sumamos los dos números resultantes:

- 142857² = 20408122449  

- 20408 + 122449 = 142857

Si elevamos los primeros 3 dígitos al cuadrado, y lo restamos del cuadrado de los últimos 3 dígitos, nos llevamos otra sorpresa:

- 142² = 20164  

- 857² = 734449  

- 734449 − 20164 = 714285

Si sumamos los primeros 3 dígitos y los últimos 3 dígitos, obtendremos otro resultado curioso:  142 + 857 = 999

Si sumamos los digitos de 2 en 2, obtendremos otro: 14 + 28 + 57 = 99

Si lo multiplicamos por números múltiplos de 7:

142857 * 7 = 999999  

142857 * 14 = 1999998  

142857 * 21 = 2999997  

142857 * 28 = 3999996  

142857 * 35 = 4999995

En cualquier caso los extremos que rodean los 9 centrales sumarán 9 ó 99 ó 999, etc. Ejemplo: 142857*847 = 120999879 sumando los extremos de los 9 centrales, 120+879 obtenemos 999.

Fuente: wikipedia